Hola!! Quiero compartir contigo un nuevo applet de GeoGebra que te permitiría entender mucho mejor la definición del Triángulo como la intersección de tres semiplanos:
Bienvenidos a este espacio de la Bella Geometría. ¿Quieres saber más de ella?. ¡¡Adelante!!. Te invito a que recorras este Blog y participes con tus comentarios.
miércoles, 22 de octubre de 2014
sábado, 23 de agosto de 2014
Actividades con Puntos Notables II
Los invito a que realicen las siguientes Actividades con las herramientas disponibles de GeoGebra y que comenten como las resolvieron:
Actividades con Puntos notables I
Imagínate que el siguiente triangulo es Obtusalin y observa que sucede con estos puntos notables Incentro I y Baricentro B:
Los compañeros de colegio de Obtusalin y Escalenin querían sacar fuera de ellos su baricentro e incentro y por eso los dejaban desordenados. Luego de interactuar con estos applets ¿Piensas que es posible sacar fuera de un triángulo obtuso estos puntos notables?
También te invito a que participes con tus comentarios respondiendo las siguientes preguntas:
a) ¿Por qué los habitantes de Figurlandia se
preocupan por su volumen? ¿Es posible que estas figuras tengan volumen?
b) ¿Cómo es posible que se obtengan dos
triángulos obtusángulos a partir de un paralelogramo? ¿Podrías explicarlo?
Dibuja a partir de un paralelogramo dos triángulos obtusángulos que representen
a Obtusalin y Escalenin.
c) Trata de ponerle nombre de matemáticos a los
meses del año.
d) ¿Porque los hermanos no pueden guardar
sus alturas?.
Nota: Quisiera destacar que las preguntas fueron elaboradas por la Prof. Natalia Arguello a quien se agradece su colaboración.
Nota: Quisiera destacar que las preguntas fueron elaboradas por la Prof. Natalia Arguello a quien se agradece su colaboración.
Cuento "Obtusalin y Escalenin"
Hola!!!
Los invito a que compartamos el siguiente cuento y que luego realices el cuestionario:
Quedan invitados a realizar las Actividades propuestas en las siguientes entradas:
Actividades con Puntos notables I
Actividades con Puntos notables II
Los invito a que compartamos el siguiente cuento y que luego realices el cuestionario:
Actividades con Puntos notables I
Actividades con Puntos notables II
miércoles, 15 de febrero de 2012
Puntos notables del Triángulo
Los puntos notables del triángulo son: circuncentro, incentro, baricentro y ortocentro.
Para poder construirlos primero debemos conocer que son las bisectrices, mediatrices, alturas y medianas de un triangulo.
A continuación te invito a recordar sus definiciones y luego puedes reproducir los applets de GeoGebra para observar la construcción de éstos puntos notables.
Mediatrices de un triángulo
Mediatriz es una recta perpendicular al lado en su punto medio.
Las mediatrices de un triángulo concurren en un punto llamado circuncentro, que equidista de los vértices del mismo y es centro de una circunferencia circunscrita a él.
Circuncentro
Bisectrices de un triángulo
Bisectriz es la semirrecta interior del ángulo que lo divide en dos ángulos iguales.
Daniela Arnedo, Creación realizada con GeoGebra
Bisectrices de un triángulo
Bisectriz es la semirrecta interior del ángulo que lo divide en dos ángulos iguales.
Las bisectrices de los ángulos interiores de un triángulo concurren en punto llamado incentro, que equidista de los lados del mismo y es el centro de una circunferencia inscripta en el.
Incentro
Incentro
Daniela Arnedo, Creación realizada con GeoGebra
Medianas de un triángulo
Mediana es el segmento comprendido entre el vértice y
el punto medio del lado opuesto.
Las medianas de un triángulo concurren en un punto
llamado baricentro, que dista 2/3 del vértice de la mediana
correspondiente.
Baricentro
Daniela Arnedo, Creación realizada con GeoGebra
Alturas de un triángulo
Altura es el segmento perpendicular comprendido entre el vértice y el lado opuesto.
Las rectas a las cuales pertenecen las alturas de un triangulo concurren en un punto llamado ortocentro.
Ortocentro
Para practicar y saber más de los puntos notables te propongo que visites el siguiente enlace: Puntos notables.
jueves, 8 de diciembre de 2011
Triángulos Rectángulos
En los triángulos rectángulos los lados reciben distintos nombres...
Como vemos en la figura, dos de sus lados se llaman catetos y el lado opuesto al ángulo recto se denomina hipotenusa:
Como vemos en la figura, dos de sus lados se llaman catetos y el lado opuesto al ángulo recto se denomina hipotenusa:
hipotenusa, opuesto al ángulo recto Â
cateto opuesto al ángulo agudo B
cateto opuesto al ángulo agudo B
cateto, opuesto al ángulo agudo Ĉ
Todo triángulo rectángulo tiene un ángulo recto. Los otros dos son agudos.
Entre las figuras geométricas el triángulo rectángulo es una de las más interesantes. Dió origen a una rama muy importante de la matemática: la trigonometría y se lo asocia con el famoso teorema de Pitágoras.
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| Los veleros se reconocen a la distancia por sus velas en formas de triángulos rectángulos |
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| Molesse dure (1927) |
Uno de los primeros pintores abstractos Wassily Kandinsky (1866-1944), utilizó las figuras geométricas para representar el mundo, como en su cuadro Molesse dure (1927), entre ellas apreciamos al triángulo rectángulo.
Para probar cuanto sabes sobre las partes del triangulo rectángulo puedes visitar el siguiente sitio: Triángulo rectángulo.
miércoles, 7 de diciembre de 2011
Propiedad del ángulo exterior de un Triángulo
Todo ángulo exterior a un triángulo
es igual a la suma de los otros dos interiores no adyacentes a él.
¡Muy bien! Ahora te invito a que manipules el siguiente Applet de GeoGebra y observes como se comprueba la propiedad:
Propiedad del ángulo exterior de un Triángulo
Daniela Arnedo, Creación realizada con GeoGebra
A continuación una demostración de esta propiedad.
Debemos demostrar que:
Comparando las dos igualdades, los segundos miembros son iguales, lo que implica que, los primeros también son iguales.
Pasamos
Como Ĉ esta sumando y restando y además no vale cero, se elimina y nos queda lo que queríamos demostrar:
martes, 8 de noviembre de 2011
Amplitud de un Ángulo
Para comprender la idea de amplitud se puede pensar que las semirrectas son las agujas de un reloj (¡infinitamente largas!).
A las doce en punto las dos agujas o manecillas estan juntas. Decimos que forman un ángulo de 0º (cero grados) o nulo.
La amplitud del ángulo indica "cuanto giró" la aguja desde su posición inicial.
Después de una hora la menecilla de los minutos dio una vuelta entera y volvió a la posición inicial, pero en su camino determinó un ángulo de 360º de amplitud.
Y la manecilla de las horas solo determinó un ángulo de 30º de amplitud.
¿Figuras iguales o congruentes?
En geometría se trabaja con conjuntos de puntos.
Dos conjuntos son iguales cuando tienen los mismos elementos.
Geométricamente hablando las dos estrellas, ¡no son iguales!
Porque el punto A - que está en el extremo superior de la primera estrella - , no pertenece a la segunda.
Y el punto B - que está en el extremo superior de la segunda estrella - , no pertenece a la primera.
Entonces, solo se puede hablar de igualdad cuando se hace referencia al mismo conjunto, a la misma figura.
Si dos figuras al superponerlas coinciden en todos sus puntos, se dice que son congruentes.
Las dos estrellas, ¡son congruentes!
Una forma de reconocer si dos figuras planas son congruentes es midiéndolas.
Por ello no tiene sentido hablar de congruencia de rectas, semirectas o de semiplanos, pero si de congruencia de segmentos, de ángulos o de otras figuras.
Los segmentos congruentes tienen la misma longitud.
Los ángulos congruentes poseen igual amplitud.
Para determinar longitudes se utiliza la regla graduada o el compás, para medir amplitudes de ángulos se usa el transportador.
¿Quieres conocer más sobre Figuras Congruentes? Te invito a que visites el siguiente enlace: Congruencia.
¿Quieres conocer más sobre Figuras Congruentes? Te invito a que visites el siguiente enlace: Congruencia.
lunes, 17 de octubre de 2011
Propiedad de los ángulos exteriores de un triángulo
Todo triángulo tiene además de tres ángulos interiores, otros tres ángulos exteriores, cada uno suplementario a su ángulo interior adyacente.
Para ver esta idea mas clara dibujemos un triángulo y recordemos primero cuáles son ángulos exteriores.
Y aquí tenemos otra propiedad importante:
La suma de los ángulos exteriores de cualquier triángulo es 360º.
Esta propiedad de los ángulos exteriores también vale la pena demostrarla ya que es un ejercicio interesante de lógica. Veamos esto en detalle:
Cada ángulo interior de un triángulo es adyacente a su ángulo exterior, esto quiere decir que entre ambos suman 180º. En el gráfico vemos por ejemplo como el ángulo "alfa" es suplementario a su adyacente interior y que ambos suman 180º porque forman un ángulo llano.
Por otro lado si sumáramos todos los ángulos interiores con todos los ángulos exteriores.
Así podemos armar las siguientes sumas:
Con esto tenemos que la suma de los seis ángulos es tres veces 180º, es decir la suma de los seis ángulos es 540º.
Entonces tenemos que:
La suma de los seis ángulos es 540º (Ángulos interiores y Ángulos exteriores)
La suma de los tres ángulos interiores es 180º.
Por lo tanto la suma de sólo los tres exteriores es la diferencia entre ambas:
540º - 180º = 360º que es igual a la Suma de los ángulos exteriores.
Propiedad de los ángulos interiores de un triángulo
La suma de los ángulos interiores de un triángulo
es igual a dos rectos.
Debemos demostrar que:
por ser un ángulo llano.
Se reemplaza en (1) por sus iguales: es decir donde aparece α se coloca  y donde aparece ε se coloca Ĉ .
A continuación observa el video de la demostración y responde el cuestionario:
Espero te haya gustado, hasta pronto.
Triángulos
Quizás por tratarse del polígono del menor número de lados, el triángulo ha sido una de las figuras geométricas que más ha interesado al hombre desde los principios de la civilización. Ya desde hace cuarenta siglos, se sabe que es una figura rígida e indeformable. Quizás debido a esta propiedad, o tal vez por que sus vértices forman un plano, el triángulo ha figurado y figura como soporte de algunas construcciones arquitectónicas. Otras propiedades de los triángulos son la existencia de dos ángulos agudos, que el lado mayor es menor que la suma de los otros dos y que la suma de todos sus ángulos es igual al ángulo llano, o sea, ciento ochenta grados.
El triángulo equilátero
Para sostener las vigas de un puente es frecuente la utilización de soportes triangulares. En el caso de la siguiente imagen, éstos tienen todos los lados iguales: son triángulos equiláteros.
la obtención de un triángulo equilátero perfecto se consigue mediante la intersección de dos circunferencias. tal como muestra la figura superior.
El triángulo isósceles
La unión ideal de tres puntos geográficos nos permite obtener la figura con dos lados y dos ángulos iguales. Se trata del triángulo isósceles.
El triángulo escaleno
Si tomamos tres tiras o tres lineas de longitudes distintas, de modo que la tira mayor sea menor que la suma de las otras dos, podremos construir un triángulo de lados desiguales. Este es el triángulo escaleno.
La unión ideal de tres puntos geográficos nos permite obtener la figura con dos lados y dos ángulos iguales. Se trata del triángulo isósceles.
Si tomamos tres tiras o tres lineas de longitudes distintas, de modo que la tira mayor sea menor que la suma de las otras dos, podremos construir un triángulo de lados desiguales. Este es el triángulo escaleno.
sábado, 15 de octubre de 2011
Actividades con Poligonos
¿Evaluamos cuanto sabemos
de los polígonos cóncavos y convexos?
de los polígonos cóncavos y convexos?
1) Pincha en el siguiente enlace: Polígonos cóncavos y convexos.
2) Para jugar con el Tangram
El Tangram es un rompecabezas o puzzle llamado “la plaqueta de la sabiduría" por los chinos que lo crearon hace mucho, ya que en 1813 a.C. se publicó un tratado de este juego. Con el tiempo, se conoció en Europa. Fue uno de los preferidos de Napoleón que, además de general y emperador, fue un entusiasta de la matemática.
¿En qué consiste el tangram? Es un cuadrado dividido en siete piezas, como indica el dibujo. Para jugar hay que formar figuras, utilizando todas sin superponerlas.
Con el tangram se ha construido cada una de las letras del alfabeto latino y las cifras arábigas. También se pueden construir solo 13 figuras convexas. ¿Se animan a hacerlo? Para ello descarguen este modelo pinchando en la imagen o constrúyanlo en algún material, manteniendo las proporciones.
También puedes visitar el siguiente sitio: Tangram Interactivo, y allí puedes jugar más con las piezas del trangram.
Más sobre Poligonos
Suma de los ángulos interiores de un polígono
La suma de los ángulos interiores de un polígono es
igual a dos rectos por el número de lados menos dos.
Se lee: sumatoria de los A ángulos interiores del polígono.
Para la demostración consideramos un pentágono. Consideramos un punto O interior al polígono ABCDE y unimos cada vértice con el centro O, quedando determinados los triángulos.
Por ser la suma de los ángulos interiores de un triangulo igual a dos rectos.
Sumando miembro a miembro:
Como:
Como
(porque forma un ángulo de giro), pasa al otro miembro restando:
Se saca factor común 2R:
Generalizando para cualquier numero de lados del polígono.
La suma de los ángulos exteriores de cualquier polígono es siempre igual a 4R.
Suma de los Ángulos interiores de un Polígono
Te invito a que muevas el punto a y observes como se comprueba la propiedad.
Espero que te haya gustado y espero tus comentarios.
Daniela Arnedo, Creación realizada con GeoGebra
Poligonos
En los objetos que vemos a nuestro alrededor, podemos identificar formas y características particulares. Si nos detenemos y observamos sus superficies, veremos que algunos tienen tres o más lados rectos, otros combinan líneas rectas y curvas, o están formadas por una sola línea curva.
En las entradas que siguen vamos conocer diversas figuras geométricas, como los polígonos (del griego “polis” que quiere decir “mucho” y “gonia” que significa “lado”). Es decir, nos referiremos a las figuras que tienen tres o más lados.
Estudiaremos de los Polígonos su definición, sus elementos y clasificación. Más tarde veremos también las Propiedades que cumplen los polígonos.
Para ello te propongo a continuación que visites la entrada generada de Polígonos en el Blog MATEMATICA 2010 alli encontrarás no sólo las primeras definiciones sino también algunos otros aportes a la Matemática.
Todos estos conocimientos pueden resultar apasionantes y, además ayudarnos a resolver problemas que se plantean en nuestra vida cotidiana.
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