Triángulos Rectángulos

En los triángulos rectángulos los lados reciben distintos nombres...
Como vemos en la figura, dos de sus lados se llaman catetos y el lado opuesto al ángulo recto se denomina hipotenusa:

hipotenusa, opuesto al  ángulo recto  


cateto opuesto al ángulo agudo  B

cateto, opuesto al ángulo agudo Ĉ

Todo triángulo rectángulo tiene un ángulo recto. Los otros dos son agudos.

Entre las figuras geométricas el triángulo rectángulo es una de las más interesantes. Dió origen a una rama muy importante de la matemática: la trigonometría y se lo asocia con el famoso teorema de Pitágoras.

Los veleros se reconocen a la distancia por sus velas en formas de triángulos rectángulos

Molesse dure (1927)

Uno de los primeros pintores abstractos Wassily Kandinsky (1866-1944), utilizó las figuras geométricas para representar el mundo, como en su cuadro Molesse dure (1927), entre ellas apreciamos al triángulo rectángulo.

Para probar cuanto sabes sobre las partes del triangulo rectángulo puedes visitar el siguiente sitio: Triángulo rectángulo.

Propiedad del ángulo exterior de un Triángulo

Todo ángulo exterior a un triángulo 

es igual a la suma de los otros dos interiores no adyacentes a él. 

¡Muy bien! Ahora te invito a que manipules el siguiente Applet de GeoGebra y observes como se comprueba la propiedad:

Propiedad del ángulo exterior de un Triángulo

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Daniela Arnedo, Creación realizada con GeoGebra

A continuación una demostración de esta propiedad.

Debemos demostrar que: 

Comenzamos ...
Por la Propiedad de los ángulos interiores de un triángulo:

Comparando las dos igualdades, los segundos miembros son iguales, lo que implica que, los primeros también son iguales.

Pasamos Ĉ al segundo miembro, con la operación contraria.

Como Ĉ esta sumando y restando y además no vale cero, se elimina y nos queda lo que queríamos demostrar:

Amplitud de un Ángulo

Para comprender la idea de amplitud se puede pensar que las semirrectas son las agujas de un reloj (¡infinitamente largas!).

A las doce en punto las dos agujas o manecillas estan juntas. Decimos que forman un ángulo de 0º (cero grados) o nulo.

A medida que pasa el tiempo las agujas se van moviendo y determinan un ángulo con respecto a esa posición inicial.

La amplitud del ángulo indica "cuanto giró" la aguja desde su posición inicial.

Después de una hora la menecilla de los minutos dio una vuelta entera y volvió a la posición inicial, pero en su camino determinó un ángulo de 360º de amplitud.

Y la manecilla de las horas solo determinó un ángulo de 30º de amplitud.

Los ángulos de menos de un giro miden entre 0º y 360º.

¿Figuras iguales o congruentes?

En geometría se trabaja con conjuntos de puntos.

Dos conjuntos son iguales cuando tienen los mismos elementos.

Geométricamente hablando las dos estrellas, ¡no son iguales!

Porque el punto A - que está en el extremo superior de la primera estrella - , no pertenece a la segunda.

Y el punto B - que está en el extremo superior de la segunda estrella - , no pertenece a la primera.

Entonces, solo se puede hablar de igualdad cuando se hace referencia al mismo conjunto, a la misma figura.

Si dos figuras al superponerlas coinciden en todos sus puntos, se dice que son congruentes.

Las dos estrellas, ¡son congruentes!

Una forma de reconocer si dos figuras planas son congruentes es midiéndolas.

Por ello no tiene sentido hablar de congruencia de rectas, semirectas o de semiplanos, pero si de congruencia de segmentos, de ángulos o de otras figuras.

Los segmentos congruentes tienen la misma longitud.

Los ángulos congruentes poseen igual amplitud.

Para determinar longitudes se utiliza la regla graduada o el compás, para medir amplitudes de ángulos se usa el transportador.

¿Quieres conocer más sobre Figuras Congruentes? Te invito a que visites el siguiente enlace: Congruencia.

Propiedad de los ángulos exteriores de un triángulo

Todo triángulo tiene además de tres ángulos interiores, otros tres ángulos exteriores, cada uno suplementario a su ángulo interior adyacente.

Para ver esta idea mas clara dibujemos un triángulo y recordemos primero cuáles son ángulos exteriores.

Y aquí tenemos otra propiedad importante:

La suma de los ángulos exteriores de cualquier triángulo es 360º.

Esta propiedad de los ángulos exteriores también vale la pena demostrarla ya que es un ejercicio interesante de lógica. Veamos esto en detalle:

Cada ángulo interior de un triángulo es adyacente a su ángulo exterior, esto quiere decir que entre ambos suman 180º. En el gráfico vemos por ejemplo como el ángulo "alfa" es suplementario a su adyacente interior  y que ambos suman 180º porque forman un ángulo llano.

Por otro lado si sumáramos todos los ángulos interiores con todos los ángulos exteriores. 

Así podemos armar las siguientes sumas:

Con esto tenemos que la suma de los seis ángulos es tres veces 180º, es decir la suma de los  seis ángulos es 540º.

Entonces tenemos que:

La suma de los seis ángulos es 540º (Ángulos interiores y Ángulos exteriores)

La suma de los tres ángulos interiores es 180º.

Por lo tanto la suma de sólo los tres exteriores es la diferencia entre ambas:

540º - 180º = 360º que es igual a la Suma de los ángulos exteriores. 

Propiedad de los ángulos interiores de un triángulo

La suma de los ángulos interiores de un triángulo 

es igual a dos rectos.

Debemos demostrar que:

Por el vértice B se traza una recta m // AC , que­dando así determinados los ángulos α y ε .

por ser un ángulo llano.

(1)  



Pero

Se reemplaza en (1) por sus iguales: es decir donde aparece α se coloca   y donde aparece ε se coloca Ĉ .

A continuación observa el video de la demostración y responde el cuestionario: 

Nota: Puedes acceder al video con zoom haciendo click en: Suma de los ángulos interiores de un triángulo

Espero te haya gustado, hasta pronto.

Triángulos

Quizás por tratarse del polígono del menor número de lados, el triángulo ha sido una de las figuras geométricas que más ha interesado al hombre desde los principios de la civilización. Ya desde hace cuarenta siglos, se sabe que es una figura rígida e indeformable. Quizás debido a esta propiedad, o tal vez por que sus vértices forman un plano, el triángulo ha figurado y figura como soporte de algunas construcciones arquitectónicas. Otras propiedades de los triángulos son la existencia de dos ángulos agudos, que el lado mayor es menor que la suma de los otros dos y que la suma de todos sus ángulos es igual al ángulo llano, o sea, ciento ochenta grados.

Puedes ver la Definición y la clasificación en la siguiente presentación

El triángulo equilátero

Para sostener las vigas de un puente es frecuente la utilización de soportes triangulares. En el caso de la siguiente imagen, éstos tienen todos los lados iguales: son triángulos equiláteros.

la obtención de un triángulo equilátero perfecto se consigue mediante la intersección de dos circunferencias. tal como muestra la figura superior.

El triángulo isósceles
La unión ideal de tres puntos geográficos nos permite obtener la figura con dos lados y dos ángulos iguales. Se trata del triángulo isósceles.

El triángulo escaleno
Si tomamos tres tiras o tres lineas de longitudes distintas, de modo que la tira mayor sea menor que la suma de las otras dos, podremos construir un triángulo de lados desiguales. Este es el triángulo escaleno.

Actividades con Poligonos

¿Evaluamos cuanto sabemos 
de los polígonos cóncavos y convexos? 

1) Pincha en el siguiente enlace: Polígonos cóncavos y convexos.

2) Para jugar con el Tangram

El Tangram es un rompecabezas o puzzle llamado “la plaqueta de la sabiduría" por los chinos que lo crearon hace mucho, ya que en 1813 a.C. se publicó un tratado de este juego. Con el tiempo, se conoció en Europa. Fue uno de los preferidos de Napoleón que, además de general y emperador, fue un entusiasta de la matemática.

¿En qué consiste el tangram? Es un cuadrado dividido en siete piezas, como indica el dibujo. Para jugar hay que formar figuras, utilizando todas sin superponerlas.

Con el tangram se ha construido cada una de las letras del alfabeto latino y las cifras arábigas. También se pueden construir solo 13 figuras convexas. ¿Se animan a hacerlo? Para ello descarguen este modelo pinchando en la imagen o constrúyanlo en algún material, manteniendo las proporciones.

También puedes visitar el siguiente sitio: Tangram Interactivo, y allí puedes jugar más con las piezas del trangram.

Más sobre Poligonos

Suma de los ángulos interiores de un polígono

La suma de los ángulos interiores de un polígono es 

igual a dos rectos por el número de lados menos dos.

 

Se lee: sumatoria de los A ángulos interiores del polígono.

Para la demostración consideramos un pentágono. Consideramos un punto O interior al polígono ABCDE  y unimos cada vértice con el centro O, quedando determinados los triángulos.

Por ser la suma de los ángulos interiores de un triangulo igual a dos rectos.

Sumando miembro a miembro:

Como:

Como  

  

(porque forma un ángulo de giro), pasa al otro miembro restando:

Se saca factor común 2R:

Generalizando para cualquier numero de lados del polígono.

La suma de los ángulos exteriores de cualquier polígono es siempre igual a 4R.

Suma de los Ángulos interiores de un Polígono

Te invito a que muevas el punto a y observes como se comprueba la propiedad.

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Espero que te haya gustado y espero tus comentarios.

Daniela Arnedo, Creación realizada con GeoGebra

Poligonos

En los objetos que vemos a nuestro alrededor, podemos identificar formas y características particulares. Si nos detenemos y observamos sus superficies, veremos que algunos tienen tres o más lados rectos, otros combinan líneas rectas y curvas, o están formadas por una sola línea curva.

En las entradas que siguen vamos conocer diversas figuras geométricas, como los polígonos (del griego “polis” que quiere decir “mucho” y “gonia” que significa “lado”). Es decir, nos referiremos a las figuras que tienen tres o más lados.

Estudiaremos de los Polígonos su definición, sus elementos y clasificación. Más tarde veremos también las Propiedades que cumplen los polígonos. 

Para ello te propongo a continuación que visites la entrada generada de Polígonos en el Blog MATEMATICA 2010 alli encontrarás no sólo las primeras definiciones sino también algunos otros aportes a la Matemática.

Todos estos conocimientos pueden resultar apasionantes y, además ayudarnos a resolver problemas que se plantean en nuestra vida cotidiana.

Polígonos - 3, 4, 5 y 6 lados

Trazado de tangentes a una circunferencia

A continuación el video presenta el Trazado de las Tangentes a una circunferencia desde un punto exterior:

Actividades con Angulos Inscriptos y Semiinscriptos

Ahora que ya estudiamos sobre los ángulos inscriptos y semiinscriptos te propongo realices el Trabajo Práctico y luego que evalúes cuanto sabes con las siguientes actividades.

Ángulos inscriptos y semiinscriptos

Propiedades del ángulo semi-inscripto

Te invito a que manipules los siguientes applets y observes las propiedades de los ángulos semi-inscriptos

1º Propiedad

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Arnedo Daniela Elizabeth, Creación realizada con GeoGebra

2º Propiedad

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Arnedo Daniela Elizabeth, Creación realizada con GeoGebra

3º Propiedad

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Arnedo Daniela Elizabeth, Creación realizada con GeoGebra

Ángulos Semiinscriptos en la Circunferencia

El ángulo semiinscripto en un arco de circunferencia tiene su vértice en uno de los extremos del arco; uno de sus lados pasa por el otro extremo y el otro lado es tangente a la circunferencia en el vértice.

ángulo semiinscripto.

A todo ángulo semiinscripto le corresponde un ángulo central que tiene su vértice en el centro de la circunferencia y sus lados pasan por los extremos del arco.

ángulo central que le corresponde a

¿Cómo construimos un ángulo semiinscripto?

Partimos de un arco y un ángulo central; y definimos el punto M, como vértice del Ángulo semiinscripto.

Trazamos la tangente en el vértice

Trazamos la semirrecta que une los extremos del arco

Nos queda formado el ángulo semiinscripto